Las operaciones algebraicas, son primordiales no solamente en la matemática, si no también en otras ciencias. Muchos problemas de geometría, física, y otras áreas, utilizan los conceptos básicos de este tema para respaldar sus teorías o propiedades.
La geometría, para resolver sus problemas, utiliza las expresiones algebraicas para resolver las operaciones, y de esa manera llegar a una respuesta respaldada y fundamentada. La física para utilizar sus fórmulas del movimiento uniformemente variado, que al final estos no son más que ecuaciones, también utiliza bastante los conceptos de las operaciones básicas del álgebra.
Por esta razón, este contenido es fundamental, ya que permite el acceso a otras dimensiones que uno no se puede imaginar, ya que, con estos conocimientos, puedes aprender otras ramas o ciencias con más facilidad.
Índice
Operaciones básicas del álgebra
Para tener acceso a ejercicios y problemas con las operaciones algebraicas, puedes acceder por las siguientes imágenes:
Signos de agrupación
Los signos de agrupación, son muy importantes en cualquier ciencia que utiliza los números. Estos nos permiten separar y diferenciar diversas operaciones. También, ayudan a definir el orden en que se puede realizar una operación, distinguiendo así su jerarquía. Son muy importantes en las matemáticas, sin ellas, las operaciones serian todo un caos.
Los signos de agrupación, son: barras, llaves, corchetes y paréntesis
Barras: —– casi no son utilizadas
Paréntesis: ()
Corchetes: []
Llaves: {}
Orden de las operaciones algebraicas
Para dar solución a un ejercicio en álgebra, necesitamos un conjunto de normas comunes para realizar los diferentes cálculos que este tiene. Desde hace muchos años, diferentes matemáticos ya desarrollaron un orden de operaciones estándar. Nos indican, qué operaciones se debe hacer primero en un ejercicio con más de una operación.
Sin una regla o un procedimiento estándar, para hacer cálculos, podría presentarse la situación de que varias personas obtengan diferentes resultados para un mismo ejercicio o problema. Por ejemplo, si tenemos el ejercicio 1 + 5 • 2, este tiene sólo una respuesta correcta, ¿Es 12 o 11?, obvio es 11.
Orden de operaciones con suma, resta, multiplicación y división
Cuando los ejercicios incluyan una o más operaciones de: suma, resta, multiplicación, y división. El orden de operación, jerarquiza que todas las multiplicaciones y divisiones, se deben hacer primero, de izquierda a derecha del ejercicio.
El orden, en el que se de operar con la multiplicación y división, está definido por cuál aparece primero, de izquierda a derecha. Este procedimiento, se sigue, en el caso de que se presente varios factores en un mismo término.
Ejemplo
1. Simplifica 2x + 5x • 3x
2x + 5x • 3x + x | El orden de esta operación, indica que primero, se haga la multiplicación antes que la suma. |
| 2x + 15x2 + x | Ahora suma los términos semejantes |
| 3x + 15x2 | Respuesta |
2. Simplifica 4x – 16x ÷ 4x – 3
| 4x – 16x ÷ 4x + 3 | El orden de operaciones, te indica que primero, que hagas la división antes que la resta. |
| 4x – 4 + 5 | Ahora resta los términos semejantes. |
| 4x – 1 | Respuesta |
Orden con signos de agrupación, paréntesis ( ), llaves { }, corchetes [ ], y barras
Las reglas en esta situación de orden, determina que primeo se debe realizar, las operaciones dentro del signo de agrupación. Y para ello, se debe seguir la norma explicada anteriormente, dentro del mismo. Después de realizar la operación por dentro del signo, entonces ahora divide o multiplica de izquierda a derecha, y solo después, luego resta o suma de izquierda a derecha.
Ejemplo
1) Simplifica 2m + (5m + 3•5m) : 5
| 2m + (5m + 3•5m) : 5 | El orden define que primero se opere dentro los paréntesis. Se debe seguir la norma anterior, es decir, primero se multiplica el 3•5m |
| 2m + (5m + 15m) : 5 | Ahora suma los términos semejantes aun dentro el paréntesis (5m + 15m) = (20m) |
| 2m + (20m) : 5 | Lo que sigue es, respetar la prioridad de dividir y desaparece el signo de agrupación (20m) : 5=4m |
| 2m + 4m | Recién se puede hacer la suma. |
| 6m | Respuesta |
2) Simplifica -3m + (2m + m) + (15m – 5m) : 5
| -3m + (2m + m) + (15m – 5m) : 5 | En la situación de tener más signos de agrupación, primero se opera en cada una de ellas. Se puede operar simultáneamente. |
| -3m + (3m) + (10m) : 5 | Si dentro el signo no hay más que operar, este ya no se debe colocar. En cambio, si tiene una operación a la izquierda o derecha, se debe ejecutar la operación que queda, en este caso, dividir. |
| -3m + 3m + 2m | Ahora solo queda reducir los términos semejantes |
| 2m | Respuesta |
Propiedades de la adición en el álgebra
La adición es una operación, que tiene como finalidad, unir dos o más expresiones algebraicas llamadas sumandos, en una sola expresión llamada suma. Que no se confunda el término adición con reducción de términos semejantes, porque son dos situaciones distintas.
En el lenguaje común o cotidiano, esta operación puede expresarse con diferentes palabras. Estas son: aumentar, sumar, añadir, incrementar, más y exceder.
Propiedad de unicidad en la adición
La suma de dos o más números o expresiones algebraicas es única. Por ejemplo:
1) 1 + 9 = 10 solo tiene un valor numérico como resultado, no puede tener dos o más respuestas
2) 6y + 5y = 13y la respuesta es única, no puede ser, por ejemplo, 13x o 13m
Propiedad conmutativa en la adición
El orden de los sumandos no altera la suma. Es decir, que, sí cambio el orden manteniendo los signos de las expresiones, el resultado no varía, es el mismo. Por ejemplo:
1) 3 + 7 = 10 o también 7 + 3 = 10
2) 2m + 5m = 7m o también 5m + 2m = 7m
3) 2xy2 – 5xy2 = -3xy2 o también – 5xy2 + 2xy2 = -3xy2 al cambiar el orden, se respeta los signos
Propiedad asociativa en la adición
En la suma de tres o más expresiones, los sumandos pueden agruparse de cualquier forma, obteniendo de esa manera, el mismo resultado. Por ejemplo:
1) 2 + 4 + 3 = (2 + 4) + 3 = 2 + (4 + 3) = (2 + 3) + 4
2) 6xy + 9xy + 5xy = (6xy + 9xy) + 5xy = 6xy + (9xy + 5xy) = (6xy + 5xy) + 9xy = 20xy
Propiedad neutra en la adición
Al sumar un cero, con cualquier número o expresión algebraica, se obtiene como resultado, la misma expresión. Es así, que al cero se le llama, elemento neutro de la adición. Por ejemplo:
1) 9 + 0= 9
2) 13x2 + 0 = 13x2
3) 7y + 0 = 7y
Opuesto o inverso aditivo
El opuesto o inverso aditivo de un número o expresión en algebra, es el mismo, pero tomado con el signo contrario al que originalmente presenta. Por ejemplo:
1) El opuesto aditivo de +7 es -7
2) El opuesto aditivo de -15 es +15
3) El opuesto aditivo de +8xy2 es -8xy2
4) El opuesto aditivo de -4mn es +4mn
5) El opuesto aditivo de -3x + y es 3x – y
Propiedades de la multiplicación en álgebra
La multiplicación en álgebra, es una operación, donde dadas dos o más expresiones algebraicas llamadas factores, se halla una tercera expresión llamada producto. Los signos para indicar la multiplicación son: “x”, “()” y “.” .
Cuando los factores de la expresión son literales, se deben sumar sus exponentes, respetando los signos que tienen. Y generalmente, se emplean los dos últimos signos o bien ninguno. Por ejemplo: ab = (a) (b) = a.b
Propiedad de unicidad en la multiplicación
La multiplicación de dos o más expresiones algebraicas tiene una respuesta única llamada producto. Así, por ejemplo:
1) 12 . 7 = 84 su producto es 84
2) 6x . 4x2 = 24x2 el producto único es 24x2
Propiedad conmutativa en la multiplicación
El orden de los factores, no altera el producto. Lo que significa, que, sí en el orden de los factores, el resultado de dicho ejercicio, no varía, sigue siendo el mismo. Por ejemplo:
1) 6 . 7 = 42 es lo mismo 6 . 7 = 42
2) 4x . 15x = 60x2 es lo mismo 15x . 4x = 60x2
3) -9xy . 7xy2 = -63x2y3 es lo mismo 7xy2 . (-9xy) = -63x2y3
Propiedad asociativa en la multiplicación
En el producto de tres o más expresiones, los factores pueden agruparse de cualquier manera, consiguiendo de esa forma, el mismo resultado. Así, por ejemplo:
1) 4 . 7 . 11 = (4 . 7) . 11 = 4 . (7 . 11) = (4 . 11) . 7
2) 3x . 2xy . (- 5y) = (3x . 2xy) . (-5y) = 3x . (2xy . (- 5y)) = (3x . (-5y)) . 2xy = -60x2y2
Propiedad neutra en la multiplicación
Al multiplicar con 1, a cualquier número o expresión algebraica, se tiene como producto, la misma expresión. Es por eso en la multiplicación, al número 1 se le llama, elemento neutro multiplicativo. Por ejemplo:
1) 28 . 1 = 28
2) -7xy . 1 = -7xy
3) 4m . 1 = 4m
Opuesto o inverso multiplicativo
El opuesto o inverso multiplicativo de un número o expresión algebraica, es el cociente, entre 1 y la misma expresión. Por ejemplo:
1) El opuesto multiplicativo de 9 es 1/9
2) El opuesto multiplicativo de -6/5 es 1/-6/5 multiplicando extremos y medios se tiene -5/6
3) El opuesto multiplicativo de 3x2y2 es 1/3x2y2
4) El opuesto multiplicativo de -6mn es -1/6mn
5) El opuesto multiplicativo de 2x/3y es 1/2x/3y multiplicando extremos y medios se tiene 3y/2x